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三元後中：探索三元後中在數學問題中的應用

1. 什麼是三元後中？

三元後中是指在一個三位數中，將其數字按逆序排列後，再與原來的三位數進行減法得到的差。例如，對於三位數 $123$，三元後中為 $321-123=198$。

2. 三元後中的數學性質

三元後中具有許多有趣的數學性質。以下是其中兩個重要的性質：

• 三元後中總是能被 9 整除。 這是因為在三位數中，個位上的數字是百位上的 10 倍，十位上的數字是百位上的百倍，也就是説，三元後中中，個位上的數字和百位上的數字都比原來的三位數少了 1，十位上的數字多了 1。這樣一來，個位上的數字和百位上的數字相減得到 0，十位上的數字等於原來的個位數減去原來的百位數，所以這個數字也是 0。因此，三元後中總是能被 9 整除。
• 三元後中是原三位數的倒數減去原三位數的倒數。

為了證明這個性質，假設原三位數為 $abc$，其中 $a$ 代表百位上的數字，$b$ 代表十位上的數字，$c$ 代表個位上的數字。那麼，三元後中為 $cba-abc=(100c+10b+a)-(100a+10b+c)=99(c-a)=99\times\frac{c-a}{a\times a-b\times b}$.

另一方面，原三位數的倒數為 $\frac{1}{abc}=\frac{1}{100a+10b+c}$, 而原三位數的倒數倒數為 $100a+10b+c=abc$.

因此，三元後中是原三位數的倒數減去原三位數的倒數。

3. 三元後中在數學問題中的應用

三元後中可以應用於解決一些數學問題。例如：

問題： 找到一個三位數，它的三元後中是 495。

解答： 假設原三位數為 $abc$，則三元後中為 $cba-abc=495$.

根據三元後中總是能被 9 整除的性質，我們知道 $cba$ 和 $abc$ 的差必須是 9 的倍數。所以，$99(c-a)$ 必須是 495 的倍數。由於 495 可以被 9 整除，所以 $c-a$ 必須是 5 的倍數。滿足此條件的值為 $c-a=5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40$。

將這些值代入方程 $cba-abc=495$，可以得到以下解：

因此，滿足條件的三位數有 8 個。

4. 參考文獻

• 維基百科，“三元後中”
• 數學題庫，“三元後中 – 有趣的數學性質”

5. 附錄

5.1 一些三元後中的例子

其中，三元後中 198 和 639 都是 9 的倍數，三元後中 972 不是 9 的倍數，三元後中 909 是 9 的倍數。